笔记

1. 第二类曲线积分

1.1. 格林公式

$${\oint }_{L}P\mathrm{dx}+Q\mathrm{d}y={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

条件：封闭、正向、一阶偏导连续

1.2. 挖点

• 区域 $D$ 内不能保证一阶偏导连续的情况。且不连续性是由分母为 0 导致的，即极点导致不连续。

• 做法：在极点周围构造一个反向、方程为 $\mathrm{分}\mathrm{母}={\epsilon }^2$ 的曲线然后积分。令 $\epsilon$ 任意小但不等于 0。就可以消去极点，在两个曲线积分上都可用格林公式。

• 例：$L$ 圆心 $(1,0)$，半径 $R>1$，取逆时针方向。计算

  $$I={\oint }_L\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}$$

  • 因为 $L$ 围成区域包含 $(0,0)$，使得分母为 0，所以不能直接用格林公式。

  • 构造椭圆 $L^{\prime }:4x^2+y^2={\epsilon }^2$，顺时针方向以便和 $L$ 围成区域。然后

    $$\begin{array}{rl}I& =({\oint }_L+{\oint }_{L^{\prime }}-{\oint }_{L^{\prime }})\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}\\ & ={\text{oiint}}_{D^{\prime }}(...)\mathrm{d}S-{\oint }_{L^{\prime }}\frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{4x^2+y^2}\end{array}$$

  • 其中曲面积分算出来是 0。后面一项因为可以直接把分母换成 ${\epsilon }^2$，所以没有极点。可用格林公式。

1.3. 路径无关

• 前提条件：$D$ 上没有单连通区域（洞），$P,Q$ 在 $D$ 上一阶偏导连续。
• 三个充要条件
  • $D$ 内沿任意光滑闭曲线积分为 0：直接结论，就是换种说法。
  • $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$：常用于证明。已知路径无关时也可作为条件推导。
  • 存在全微分 $\mathrm{d}u=P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y$，且从点 $A$ 到 $B$ 的曲线积分等于 $u(B)-u(A)$：和全微分相联系，找原函数。

1.4. 斯托克斯公式

用于求 3D 空间第二类曲线积分

$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{L}P\mathrm{d}x+Q\mathrm{d}y+R\mathrm{d}z\\ & ={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\overline{)\begin{array}{ccc}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}}\mathrm{d}S\\ & ={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})\cos \alpha +(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})\cos \beta +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})\cos \gamma \mathrm{d}S\end{array}$$

• 条件：封闭、正向、一阶偏导连续。
• 行列式形式相对好记。
• 该方法优先级不高，实际做题应先灵活分析，看能否靠坐标平面化简。

2. 第二类曲面积分

2.1. 高斯公式

$${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}P\mathrm{d}x\mathrm{d}y+Q\mathrm{d}y\mathrm{d}z+R\mathrm{d}z\mathrm{d}x={\iint }_D\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\mathrm{d}V$$

条件：封闭，正向（外侧），一阶偏导连续。

2.2. 高斯公式注意事项

• 对第二类曲面积分优先级最高，应优先考虑用这个解题。
• 如果围成的面不封闭，需要手动补面构造封闭。
• 如果有极点使得一阶偏导不连续，要构造 $\mathrm{分}\mathrm{母}={\epsilon }^2$ 补面，再用高斯公式求。