题目

不定积分

1.

分子分母都是 $\sin ,\cos$ 的线性组合，一定可以写成

$$\frac{\mathrm{分}\mathrm{母}+(\mathrm{分}\mathrm{母}{)}^{\prime }}{\mathrm{分}\mathrm{母}}$$

的形式，前面直接为整数，后面积分成 $\ln (\mathrm{分}\mathrm{母})$.

不定积分

1.

第二问，双常数（积分上下限都是常数），一般令上限为自变量 $x$，构造变限积分函数。转换成函数不等式问题。

注意左边积分上限中的 $b$ 别忘了也要换成 $x$：

$$F(x)={\int }_a^{a+{\int }_a^{x}g(t)\mathrm{d}t}f(t)\mathrm{d}t\le {\int }_a^{x}f(t)g(t)\mathrm{d}t$$

2.

$${\int }_{-1}^1\frac{2x^2+x(e^x+e^{-x})}{1+\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$$

奇偶性排除掉分子的 $x(e^x+e^{-x})$，然后

法一：看到 $\sqrt{1-x^2}$ 想到换元 $x=\sin t$，$\mathrm{d}x=\cos t\mathrm{d}t$。

$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{2{\sin }^{2}t\cos t}{1+\cos t}\mathrm{d}t$$

统一三角函数形式，${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$，然后注意到有平方差公式，和分子的 $1+\cos t$ 约掉，剩下

$${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}(1-\cos t)\cos t\mathrm{d}t$$

用华理士公式计算。

法二：分式有理化。

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_{-1}^1\frac{2x^2(1-\sqrt{1-x^2})}{(1+\sqrt{1-x^2})(1-\sqrt{1-x^2})}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^1\frac{2x^2(1-\sqrt{1-x^2})}{x^2}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_{-1}^{1}2(1-\sqrt{1-x^2})\mathrm{d}x\end{array}$$

第一项常数积分，第二项数形结合面积法。

3.

$${\int }_0^{n\pi }\sqrt{1-\sin 2x}\mathrm{d}x$$

被积函数周期为 $\pi$，所以等于 $n$ 个在 $[0,\pi ]$ 上的积分。然后倍角公式 + ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$，被积函数化简为

$$\sqrt{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x}=|\sin x-\cos x|$$

注意 $[0,\pi ]$ 上 $\sin -\cos$ 不是恒正恒负，打开绝对值要分段积分。

4.

$${\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{1+\cos 2x}\mathrm{d}x$$

• 分母为 ${\cos }^{2}x$ 且分子较为简单时，应优先考虑凑微分 $\tan x$。
• 倍角公式，$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$

$$\begin{array}{rl}I& ={\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{1+\cos 2x}\mathrm{d}x\\ & ={\int }_0^{\pi /4}\frac{x}{2{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}{\int }_0^{1}x\mathrm{d}\tan x\end{array}$$

然后分部积分。