笔记

1. 可导性判断

1.1. 导数定义整体替换

• $f^{\prime }(x_0)$ 导数定义

  $$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

• $\mathrm{\Delta }x$ 可以替换为任意无穷小式，对应分母上的 $\mathrm{\Delta }x$ 也要整体替换。

1.2. 双侧性

• 场景：已知极限存在，判断是否可导。
• 根据导数要求，极限式中的 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 要覆盖 $x_0$ 左右两侧的值。若不满足，不能保证可导。
• 例：已知 $\underset{x\to 0}{lim}f(x^2)/x^2$ 存在，且 $f(0)=0$，不能推得 $f^{\prime }(0)$ 存在。因为 $x^2>0$，只能保证在 $0_{+}$ 一侧 $f^{\prime }(x)$ 存在。

1.3. 极限拆分

• 场景：由已知极限式凑导数定义时，需要拆分极限。需要满足拆出来的两个极限都存在才成立。
• 若拆分出来的极限式恰好为导数定义。则由于事先不知道导数是否存在，就不能进行拆分。
• 例：已知 $\underset{x\to 0}{lim}(f(x)-f(-x))$ 存在且 $f(0)=0$，不能推得 $f^{\prime }(0)$ 存在。

1.4. 可导和连续的关系

2. 导数计算

2.1. 几个反三角函数的导数

$f(x)$	$f^{\prime }(x)$
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$
$\mathrm{arccot}x$	$-\frac{1}{1+x^2}$

2.2. 分段函数求导

常规方法（推荐）

• 非分段点处直接套公式求；
• 分端点处用导数定义求；

快速方法（有条件）

• 条件：$f(x)$ 在 $x_0$ 连续，$f^{\prime }(x)$ 在 $x\to x_0$ 时极限存在。
• 结论：$f^{\prime }(x)$ 在 $x\to x_0$ 两侧的极限值与 $f^{\prime }(x_0)$ 两侧导数值相等。
• 场景：分段函数求导数值。

2.3. 高阶导数

• 莱布尼茨公式

  $$(uv{)}^{(n)}={\mathrm{C}}_n^0{u}^{(n)}v+{\mathrm{C}}_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{(1)}+\cdots +C_n^{n}u{v}^{(n)}$$

• 利用 $x_0$ 处的泰勒展开，即麦克劳林展开

  $$f(x)=f(0)+f^{(1)}(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$
  • 若能将 $f(x)$ 直接展开为幂级数形式，则 $x^n$ 的系数 $a^n=f^{(n)}(0)/n!$，于是就可以求出 $f^{(n)}(0)$。
  • 适用于套公式展开为幂级数较为简单的函数。
  • 例：$1/(ax+b)$，可化为 $1/(1-X)$ 的形式，然后幂级数展开。