笔记

1. 中值定理证明

1.1. 定理

• 基础定理：连续函数介值定理，积分中值定理，平均值定理。
• 三大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。

1.2. 证明单个点等式

• 用罗尔定理，移项构造函数 $F^{\prime }(x)=f(x)$，转化为证明两个函数值相等。
• 构造函数的方法：直接找原函数、微分方程法、分部积分。
• 若待证等式包含二阶导，构造函数是原函数（零阶），则一般要找三个点相等。

1.3. 证明单个点不等式

• 找到具有大小关系的两点 $f(b),f(a)$ 然后用拉格朗日中值定理。
• 待证式包含二阶导时同 1.2.

1.4. 证明两个点等式

• 要求两个点 $\xi ,\eta$ 不相同时：找到两个不相交区间，分别用拉格朗日定理。
• 不要求两个点 $\xi ,\eta$ 不相同时：1）其中一个用拉格朗日，另外一个用柯西，2）两个都用柯西或都用拉格朗日。一般情况 1 居多。

2. 泰勒公式证明

2.1. 拉格朗日余项

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x-x_0{)}^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

2.2. 识别

• 非中值定理、带绝对值等，用泰勒公式。
• 单个点等式，但是给了较强条件：闭区间 $n$ 阶可导 / 闭区间 $n$ 阶导函数连续。用泰勒公式。
• 一般给了 $n$ 阶可导 / 导函数连续，就展开到第 $n-1$ 阶，第 $n$ 阶凑出 $\xi$。