题目

多元函数微分

1.

设

$$z(x,y)={\int }_0^x\mathrm{d}t{\int }_t^{x}f(t+y)g(yu)\mathrm{d}u$$

求 ${\partial }^{2}z/(\partial x\partial y)$

错误记录

• 多重偏导顺序和符号：越靠前的越后导。即 ${\partial }^{2}z/(\partial x\partial y)$ 是先对 $y$ 偏导再对 $x$ 偏导。被偏导变量是往前插入式子。

• 变限积分公式：被积函数不能和被求导变量有关！！！

  • 错误做法：先积 $y$ 再积 $x$，然后换元，令 $r=t+y$，变换原积分为

    $$\begin{array}{rl}& {\int }_y^{x+y}\mathrm{d}r{\int }_{r-y}^{x}f(r)g(yu)\mathrm{d}u\\ & ={\int }_y^{x+y}h(r)\mathrm{d}r\end{array}$$

    其中 $h(r)=f(r){\int }_y^{x+y}g(yu)\mathrm{d}u$。然后试图对这个变限积分直接求导。

  • $h(r)$ 变限积分中，$g(yu)$ 和偏导变量 $y$ 相关，不能直接用变限积分公式求。正确解法为交换积分次序和交换偏导次序。

• 交换积分次序：${\int }_0^x\mathrm{d}t{\int }_t^x\mathrm{d}u$ 变为 ${\int }_0^x\mathrm{d}u{\int }_0^u\mathrm{d}t$。

• 交换偏导顺序：先 $x$ 再 $y$。验证可以交换：求出来后看二阶混合偏导是否连续。一般都是连续的。

2.

设 $f(x+y,x-y)=2(x^2+y^2)e^{x^2-y^2}$。求 $f_x^{\prime }(x,y)-f_y^{\prime }(x,y)$。

错误记录

• 换元 $f(u,v)$ 之后，硬求了 $\partial f/\partial x$ 和 $\partial f/\partial y$。错误原因：没有看题目给的符号。
• 题给符号已经表明 $f$ 为 $x,y$ 的直接二元函数而非间接形式。因此 $f(u,v)\equiv f(x,y)$。直接 $u,v$ 换成 $x,y$ 求偏导即可。

多元函数极值

1.

关键在要看出 ${\partial }^{2}u/(\partial x\partial y)=B$，${\partial }^{2}u/(\partial x{)}^2=A$，$\partial u/(\partial y{)}^2=C$。用无条件极值的定理得到 $\mathrm{\Delta }=AC-B^2<0$，所以区域内部不存在极值。因此最值只能在边界上取得。