笔记

1. 识别题型

1.1. 一阶

1. 可分离变量

   $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$$

2. 齐次形式

   $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(\frac{y}{x})$$

3. 一阶线性

   $$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

4. 伯努利方程

   $$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$$

5. $x,y$ 互换

   $$x^{\prime }+P(y)x=Q(y)$$

1.2. 高阶

1. 二阶常系数齐次

   $$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$

2. 二阶常系数非齐次

   $$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

3. $n$ 阶常系数齐次

   $$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$$

4. 可降阶方程

   $$y^{″}=f(x,y^{\prime }),y^{″}=f(y,y^{\prime })$$

5. 欧拉方程

   $$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$$

1.3. 都不是

换元：

• 一阶齐次是一种特殊换元。
• 一般是靠猜，凑。

2. 微分算子法

2.1. 用途

求二阶常系数线性微分方程的解。在等号右边是三角函数或 $e^x$ 的时候很好用。运用得当可以一次性求出特解 + 通解。

2.2. 定义 & 微分方程

• 基本定义：算子 $D$ 作用于函数 $f(x)$

  $$D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$$

  即 $Df(x)=(\mathrm{d}/\mathrm{d}x)f(x)$

• $P(D)=a_n{D}^n+a_{n-1}{D}^{n-1}+\cdots +a_{1}D+a_0$，表示 $D$ 的一个多项式。

• 常系数线性微分方程即可化为

  $$\begin{array}{rl}P(D)f(x)& =q(x)\\ \Rightarrow f(x)& =\frac{1}{P(D)}q(x)\end{array}$$

  其中 $1/P(D)$ 表示 $P(D)$ 逆算子。

2.3. 性质

• 性质 1：多项式带入

  • 对于指数函数 $e^{ax}$，若 $P(a)\ne 0$，则有

    $$\frac{1}{P(D)}{e}^{ax}=\frac{1}{P(a)}{e}^{ax}$$

  • 对于三角函数 $\sin kx$，保证分母不为 0 时，亦有

    $$\frac{1}{P(D)}\sin kx=\frac{1}{P(-k^2)}\sin kx$$

    分母为 0 时，也可以尝试用复数形式 $e^{ikx}$ 来解，解完取实部即可。

  • 多项式不建议使用微分算子法。对于多项式函数 $Q_m(x)$，需要将 $\frac{1}{P(D)}$ 按 $D$ 进行泰勒展开。因为求导到最高次 $m$ 后，导数恒为 0，因此保留 $0\sim m-1$ 次项即可。

• 性质 2：移位定理

  • 等号右边为指数函数 $e^x$ 形式时，有

    $$P(D)(e^{ax}u(x))=e^{ax}P(D+a)u(x)$$

  • $P(D)$ 可以是等号左边的多项式，也可以是等号右边的 $1/P(D)$。

2.4. 例

解微分方程

$$y^{″}-6y^{\prime }+9y=(x+1)e^{3x}$$

• 用微分算子法，即

  $$(D^2-6D+9)y=(x+1)e^{3x}$$

• 算子除到等号右边

  $$y=\frac{1}{(D-3{)}^2}[(x+1)e^{3x}]$$

• 移位定理提出 $e^{3x}$

  $$y=e^{3x}\frac{1}{(D-3+3{)}^2}(x+1)=e^{3x}\frac{1}{D^2}(x+1)$$

• $1/D^2$ 表示两次不定积分，会产生两个常数项，所以

  $$y=e^{3x}\iint (x+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}x=e^{3x}(\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2+C_{1}x+C_2)$$

结果中，$C_{1}x+C_2$ 是齐次通解，$1/6x^3+1/2x^2$ 是非齐次特解。

2.5. 评价（主观）

• 对于套路化的题目（常系数线性），有时可以起到很大的简化计算作用。
• 对于需要换元或交换 $x,y$ 等技巧性的题目，可能没什么用。