题目

极限计算

1

泰勒展开、高阶无穷小、分子分母同除以 $x^n$

2

提因式构造 $(1+ax{)}^{1/3}$，或立方差公式有理化。

3

注意极限是 $-\mathrm{\infty }$，同除以 $x$ 时，两个根号外要加上 $-1$

4

快速解法：中值定理（两个相似式子相减），令 $f(x)=\arctan x$，$\mathrm{\exists }{x}_0\in (\frac{a}{x+1},\frac{a}{x})$ 使得

$$f\left(\frac{a}{x}\right)-f\left(\frac{a}{x+1}\right)=(\frac{a}{x}-\frac{a}{x+1})f^{\prime }(x_0)$$

因为 $x\to \mathrm{\infty }$ 时 $\frac{a}{x},\frac{a}{x+1}\to 0$，所以 $x_0\to 0$，转化为 $x_0$ 极限