笔记

1. 多元函数极限

1.1. 判断极限存在 - 经验法则

经验方法，仅作为初步判断使用，不能保证正确！

$y=kx$ 判断不出来时，一般试 $y=k{x}^2/x=k{y}^2$，或见机行事（根据分式形式，往容易化简的方向猜）。

1.2. 某一路径分母为 0 的情况

注意事项

1. 此时默认 $(x,y)$ 不能取到此使得分母为 0 的路径（要使得极限有意义）。
2. 因为 1，所以当分式可以约分时，要先约分再判断！！！
3. 通过判断分子次数（设为 $n$），构造一个无限靠近此路径的高阶无穷小（如 $x^{n+1}$）来使得分母次数高于分子，从而极限为无穷。证得极限不存在。
4. 选择题可直接判断。

正例

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x^2{y}^4}{x-y}$$

分子最高 6 次，因此可以构造 $x-y=x^7$ 来使得分母次数更高。

反例

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x^2-y^2}{x-y}$$

可以约分。化简后 $x+y$，显然极限存在。

1.3. 夹逼准则

放缩

• 一般常用均值不等式。
• 放缩后，可能出现分母为 0 的路径。由 1.2，需要对这些路径进行单独讨论。

例

$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}\frac{x^2{y}^2}{x^2+y^2}$$

分母用均值不等式放缩（注意可能为负，要加绝对值 $x^2+y^2\ge 2|xy|$。放缩后出现 $x=0$ 和 $y=0$ 使得分母为 0，需要单独讨论。