题目

1.

$f(x)$ 在 $[0,2]$ 连续，$(0,2)$ 二阶可导。且

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{\ln f(x)+2}{\cos \frac{\pi x}{2}}=0,f(2)=2{\int }_1^{\frac{3}{2}}f(x)\mathrm{d}x$$

证明：存在 $\xi \in (0,2)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )+f^{″}(\xi )=0$。

思路：证明等于 0 $\to$ 罗尔定理 $\to$ 构造函数使得函数值相等 $\to$ 直接积分 / 微分方程法 $\to$ 微分方程法。

• 微分方程法求原函数，变换为 $e^x(f^{\prime }(x){)}^{\prime }=0$，即 $F(x)=e^x(f^{\prime }(x))$。需要找到两个 $f^{\prime }(x)$ 相等。
• 第一个极限条件，洛必达可得 $f^{\prime }(1)=0$。
• 第二个条件，积分中值定理化为 $f(2)=f(x_0)$，$x_0\in (1,3/2)$，所以罗尔定理得存在 $f^{\prime }(x_1)=0$。得证。

2.

$f(x)$ 在 $[0,\pi ]$ 连续，$(0,\pi )$ 可导。存在 $x_1,x_2\in (\pi /2,\pi )$ 使得

$$2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xf(x)\sin x\mathrm{d}x=f(x_1)+f(x_2)$$

求证：存在 $\xi \in (0,2)$ 使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

思路

• 左边 2 除过去变成 $(f(x_1)+f(x_2))/2$ $\to$ 连续函数平均值定理。
• 证明等于 0 $\to$ 罗尔定理 $\to$ 构造函数使得两个函数值相等。右边已有 $f(x)$ 形式就选 $f(x)$。
• 左边有积分，可以用积分中值定理提出 $f(x)$。但是有因子 $x\sin x$ $\to$ 部分（加权）积分中值定理只提出 $f(x)$。

注意加权积分中值定理要求余下被积函数不变号。

3.

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上二阶可导。$f(a)=f(b)=0$，$f_{+}^{\prime }(a)f_{-}^{\prime }(b)>0$。求证：存在 ${\xi }_1,{\xi }_2\in (a,b)$，且 ${\xi }_1\ne {\xi }_2$，使得 $f({\xi }_1)+f^{\prime }({\xi }_1)=0$，$f({\xi }_2)+f^{\prime }({\xi }_2)=0$。

思路

• 证明等于 0 $\to$ 罗尔定理 $\to$ 构造函数使得两个函数值相等 $\to$ 直接积分 / 微分方程法 $\to$ 微分方程法。
• $F(x)=e^{x}f(x)$，要证 $F^{\prime }({\xi }_1)=F^{\prime }({\xi }_2)=0$ $\to$ 要找两组 $F(x)$ 相等的点 $\to$ 已有 $f(a)=f(b)=0$，找到中间一个零点即可。
• 不妨令 $f_{+}^{\prime }(a)>0,f_{-}^{\prime }(b)>0$，由导数定义核极限保号性得 $a$ 邻域内 $f(x)>0$，$b$ 邻域内 $f(x)<0$。介值定理得到中间零点。