笔记

1. 基本积分公式

1.1. 基本不定积分

积分	原函数
$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$	$\arctan x+C$
$\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x$	$\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$	$\arcsin x+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x$	$\arcsin \frac{x}{a}+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\mathrm{d}x$	$\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x$	$\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C$
$\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x$	$\tan x+C$
$\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x$	$-\cot x+C$
$\int \sec x\mathrm{d}x$	$\ln |\sec x+\tan x|+C$
$\int \csc x\mathrm{d}x$	$\ln |\csc x-\cot x|+C$

记忆法 by Genimi

• 反三角函数类：记住 $\arcsin x$，$\arctan x$ 导数形式，逆推。
• $\ln$ 类：为 $\ln (x+\mathrm{被}\mathrm{积}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{分}\mathrm{母})$，若 $\ln$ 里面有可能为负则加绝对值。
• 三角函数类：记住 $\tan x$，$\cot x$ 导数形式，逆推。
• 最后两个：$\ln |\mathrm{被}\mathrm{积}\mathrm{函}\mathrm{数}(+/-)\tan /\cot x|$。

1.2. 华理士公式

三角积分公式 / 点火公式：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}x\mathrm{d}x={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}x\mathrm{d}x=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{2}{3}& ,n\mathrm{odd}\\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdots \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}& ,n\mathrm{even}\end{array}(n\ge 2)$$

2. 快速积分法

2.1. 表格法

• 场景：多项式和指数函数 / 三角函数相乘的积分 $A(x)b^x$，典型的如 $(a{x}^2+bx+c)e^x$。

• 做法：列两行表格

  • 第一行：多项式原函数、一阶导、二阶导、……，以此类推。
  • 第二行：指数/三角原函数、积分一次、积分两次、……，以此类推。
  • 直到多项式导数为 0，指数/三角积到下一项。
  • 从第一行第一列开始，按右斜线和第二行对应元素相乘，然后正负交替相加即可。第一项为正。

• 实例：$\int x^2{e}^x\mathrm{d}x$，列出表格

  $x^2$	$2x$	$2$	$0$
  $e^x$	$e^x$	$e^x$	$e^x$	$e^x$

  • 结果为 $(x^2-2x+2)e^x$。

2.2. $e^{ax}\sin bx$ 和 $e^{ax}\cos bx$

二级结论

$$\int e^{ax}\sin bx\mathrm{d}x=\frac{\left|\begin{array}{cc}(e^{ax}{)}^{\prime }& (\sin bx{)}^{\prime }\\ e^{ax}& \sin bx\end{array}\right|}{a^2+b^2}$$

分子上是二阶行列式。对于 $\cos bx$，把 $\sin$ 直接替换即可。

2.3. 留数法

• 场景：有理分式积分拆为最简分式和，解待定系数。

• 做法

  1. 同乘分母并赋为 0：分子为常数，等式两边同乘分母，然后令 $x=x_0$ 即分母项为 0，解方程；
  2. 令 $x\to \mathrm{\infty }$ 取极限：分子含 $x$ 且次数小于分母。等式两边同乘 $x$ 使得分子分母最高次相等，然后令 $x\to \mathrm{\infty }$，取极限解方程。
     • 只能解出分子最高次项的系数。故一般适用于分子为 $ax+b$ 的情况。
  3. 直接赋值：一般只剩一个待定系数时使用。

• 实例

  $$\frac{2x+1}{(x+2)(x^2+x+1)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}$$
  • 解 $A$：做法 1，等式两边同乘 $x+2$ 并令 $x=-2$，$Bx+C$ 项即被消去。
  • 解 $B$：做法 2，等式两边同乘 $x$ 并令 $x\to \mathrm{\infty }$，$A$ 项极限为 0，$Bx+C$ 项极限为 $B$。
  • 解 $C$：随便令一个 $x$ 带入即可。注意要和前面赋过的值不同。

3. 不定积分

3.1. 有理分式积分

• 凑微分：$\ln x$，$\frac{1}{x^2}\to -\frac{1}{x}$；
• 裂项，分解为最简因式和（换元，待定系数，解待定系数）

3.2. 三角函数积分

• 凑微分：如 $\sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$；

• 倍角公式，辅助角公式；

• 万能公式：令 $t=\tan (x/2)$，$x=2\arctan t$ ，有

  $$\begin{array}{rl}\sin x& =\frac{2{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}\\ \cos x& =\frac{1-{\tan }^2\frac{x}{2}}{1+{\tan }^2\frac{x}{2}}\end{array}$$

3.3. 带根式函数积分

• 根式整体换元。
• 看到 $1+x^2$ 或 $\sqrt{1+x^2}$，考虑换元 $x=\tan t$。
• 数形结合面积法（圆）。

3.4. 变限积分函数积分

• 分布积分法，对变限积分求导。
• 分布积分后，若某一项积不出来，可尝试与其他项合并再积。

4. 变限积分性质

可以由被积函数连续性推导原函数性质。设 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$，则

$f(x)$	连续	可去间断点	跳跃间断点
$F(x)$ 连续	YES	YES	YES
$F(x)$ 可导	YES	YES	NO

5. 无穷积分

5.1. 比较判别法基本敛散性

以下基本积分的敛散性，设 $a>0$，$b>a$

$$\begin{array}{rl}{I}_1& ={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p}\mathrm{d}x\\ I_2& ={\int }_a^b\frac{1}{(x-a{)}^p}\mathrm{d}x\end{array}$$

$I_1$ 是无穷区间积分，$I_2$ 是带瑕点 $a$ 无界函数积分。

敛散性如下

情况	$I_1$	$I_2$
$p>1$	收敛	发散
$p=1$	发散	发散
$p<1$	发散	收敛

比较判别法：小发散 $\to$ 大发散，大收敛 $\to$ 小收敛，同阶敛散性相同。

5.2. 对数无穷积分敛散性

以下两个积分，设条件 $a>1$，$b<1$

$$\begin{array}{rl}{I}_a& ={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^p{\ln }^{q}x}\mathrm{d}x\\ I_b& ={\int }_0^b\frac{1}{x^p{\ln }^{q}x}\mathrm{d}x\end{array}$$

• 对于 $I_b$，由于 $[0,b]$ 上 $\ln x$ 可能为负，$q$ 次方需要使得 ${\ln }^{q}x$ 有意义。

敛散性结论

情况	$I_a$	$I_b$
$p>1$	收敛	发散
$p=1,q>1$	收敛	收敛
$p=1,q\le 1$	发散	发散
$p<1$	发散	收敛

证明（以 $I_a$ 为例，$I_b$ 类似） ：猜想 + 比较判别法，构造已知敛散性积分

• $p>1$，看幂函数，由 5.1 推测收敛。由比较判别法，需要构造 "大收敛"，即构造 $x^{ϵ}$ 使得$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1/x^p{\ln }^{q}x}{1/x^{ϵ}}=0$$然后证明 $1/x^{ϵ}$ 的无穷积分收敛来推导命题。
  • 要使得上式成立，$x\to +\mathrm{\infty }$ 时要有 $1/x^{ϵ}>1/x^p{\ln }^{q}x$ 即 $x^{ϵ}<x^p{\ln }^{q}x$。
  • 因为 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，数量级取决于 $x^p$，因此 $ϵ<p$。又因为 $1/x^{ϵ}$ 自身要收敛，所以 $ϵ>1$。可取中点，即 $ϵ=p+1/2$。
• $p=1$，将 $1/x\mathrm{d}x$ 凑微分，化为 $\mathrm{d}\ln x$，然后换元，变为幂函数无穷积分。然后见 5.1.
• $p<1$ 和 $p>1$ 的情况类似。$x\to 0$ 且 $p>0$ 时，$x^p{\ln }^{q}x$ 总是趋于 0，可以忽略 ${\ln }^{q}x$ 项的作用。

指数函数 $e^x$ 推导原理类似。

5.3. 积分区间拆分

用比较判别法证明无穷积分敛散性时，若积分区间混合多个瑕点或瑕点 + 无穷区间时，要将区间进行拆分。尽可能确保每个积分区间只有一个瑕点 / 无穷。

例：

$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\frac{\ln (1+x)}{x^a}\mathrm{d}x$$

• 积分区间含瑕点 $x=0$，无穷 $+\mathrm{\infty }$。不方便直接用比较判别法（5.1 和 5.2 的结论都只有一端需要判敛，另一端为常数）
• 将区间拆分为几段 "常数+瑕点/无穷" 的组合，例如 $[0,1)$，$[1,+\mathrm{\infty })$，然后就可用比较判别法和对数积分敛散性结论。